Discussion:Loi des grands nombres

Gauss ou Binomiale?

j'émets quelques réserves sur cette partie :

"En réitérant m fois l’ensemble de cette opération, on obtient m échantillons différents ; à chaque échantillon i est associée une fréquence pi, avec i compris entre 1 et m. La loi des grands nombres indique que l'écart entre les fréquences f et pi est également un nombre aléatoire et suit la loi normale, ou loi de Laplace-Gauss, loi de répartition représentée par une courbe en cloche, dite fonction de Gauss ou gaussienne, ou encore fonction exponentielle. Autrement dit, en portant sur l’axe des abscisses la fréquence pi observée et en ordonnée le nombre de fois qu’elle a été observée dans les m opérations, on obtient une distribution normale, centrée sur une valeur maximale égale à l’estimation la plus probable de f."

Il me semble que npi suit une loi binomiale de paramètres n et f, donc pi suit un loi d'espérance f et d'écart type ${\sqrt {\frac {f(1-f)}{n}}}$ qui n'est pas gaussienne et qui s'en approche seulement pour n grand. De plus, dire que la répartition des m valeurs pi va dessiner une courbe en cloche, c'est utiliser la loi des grands nombres pour expliquer la loi des grands nombres: les valeurs pi se distribuent aléatoirement, donc pour m assez grand la distribution expérimentale des pi approchera la distribution théorique (en forme de cloche). La difficulté va être d'être suffisamment vulgarisateur dans l'article pour être compris sans pour autant affirmer des choses fausses. Par exemple:

"En réitérant m fois l'expérience (m assez grand), les fréquences pi se répartissent alors autour de la fréquence cherchée selon une courbe en cloche dont le maximum est f et dont la largeur est d'autant plus faible que n est grand." (sans évoquer la loi gaussienne)

Qu'en penses-tu?

Autre remarque : la loi exponentielle est le nom habituellement attribuée me semble-t-il à la loi de décroissance radioactive. HB 28 avr 2005 à 10:42 (CEST)

Remarque à la discussion La loi de décroissance radioactive est une binomiale négative (étude du nombre d'expériences nécessaire à l'observation du phénomène d'intérêt) de paramètre n=1 et p (notée BN(1,p)). On l'appelle aussi loi géométrique, version à caractère discret... de la loi exponentielle. Et pour ma part je trouve plutôt intéressant de citer la loi de Gauss pour expliquer celle des grands nombres, même si c'est un serpent qui se mord la queue : il apparait bien ici le côté itératif et hypothétique de cette loi. ethanol, 2006

la planche de Galton pourrait vous départager ?Claudeh5 (d) 18 avril 2008 à 10:08 (CEST)

Marcel Boll et plusieurs dizaines de parisiens

J'ai le calcul suivant, qui abouti à 5 ou 6 parisiens : le nombre de parisiens encore en train de jouer est approximativement (à supposer que la loi des grands nombres soit raisonnablement précise pour 1 million de parties et une probabilité très faible de succès, ce qui reste à étudier) 1 million de fois la probabilité qu'un joueur joue encore au bout de 3000 ans = 9 000 000 000 de parties, où la loi du nombre T de coups joués, avant retour à 0, par un de ces joueurs est décrite par (cf. Récurrence et transience d'une chaîne de Markov#Marche aléatoire biaisée) :

$\forall k\geq 1,\qquad \mathbb {P} (T=2k)=2C_{k-1}2^{-2k},\$

où $\scriptstyle \ C_{n}\$ désigne le n-ème nombre de Catalan. Ainsi

${\begin{aligned}\mathbb {P} (T\geq 2k)&=\sum _{m\geq k}\mathbb {P} (T=2m)\\\mathbb {P} (T=2m)&\sim {\frac {1}{4{\sqrt {\pi m^{3}}}}}\\\mathbb {P} (T\geq 2k)&\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi k}}}}\end{aligned}}$

Ainsi

$1\,000\,000\times \mathbb {P} (T\geq 9\,000\,000\,000)\sim 1\,000\,000\times {\frac {1}{2{\sqrt {\pi \times 4\,500\,000\,000}}}}\ \sim {\frac {50}{3{\sqrt {5\pi }}}}\ \sim \ 4,205\dots$

qui semble contredire le calcul de Marc Boll, si toutefois mes approximations n'ont pas été trop grossières (je ne suis pas expert en matière d'approximations). Plus précisément le nombre de couples restant suit la loi de Poisson de paramètre 4,205... --Chassaing 1 juin 2009 à 16:16 (CEST)

Nota: avec de moins en moins de chance de la voir se produire est faux, l'égalité ayant lieu un jour avec proba 1, par récurrence de la m.a. non biaisée sur Z. Par contre, je me risque à pronostiquer que ces 6 couples de joueurs restants vont attendre assez longtemps, car le déséquilibre entre les deux joueurs du couple a des chances d'être grand. Chassaing 28 décembre 2013 à 17:00 (CET)

Oups. Quand j'ai corrigé la modification de Gagarine, je n'avais pas pris connaissance de cette vieille discussion. Cependant le retour arrière pose problème car on cite Marcel Boll et on lui fait dire quelque chose qu'il ne dit pas. Les certitude du hasard sont accessibles par extraits sur Google Book. On arrive à y lire (p 86 ) les modalités du jeu : 1 million de couple, jouant à raison d'un coup toutes les 3 secondes, 8h par jour, « ce qui fait en gros 3 millions d'épreuves par an ». Ce ne sont pas les modalités exposées dans notre article, car les Parisiens de Boll jouent plus de 10 fois moins que ce que nous annonçons, on ne peut donc pas se référer à Boll. A mon avis, ou bien quelqu'un a accès à l'intégralité de la page 86 de Boll et on le cite correctement, soit on ne l'évoque pas mais on ne lui fait pas dire ce qu'il ne dit pas (en le soupçonnant en plus d'avoir commis des erreurs de calcul). Je remarque seulement que les 6 secondes écrits par Gagarine correspondent bien à deux épreuves. HB (discuter) 28 décembre 2013 à 17:59 (CET)

On peut se procurer le que sais je de Boll édition 1966 sur libgen en version djvu. Je regarde tout de suite ... Toutefois, je suis d'accord: on ne peut pas citer Boll si on corrige une éventuelle erreur de calcul introduite, peut etre, par une citation inexacte. De plus avec de moins en moins de chance de la voir se produire reste faux, sous réserve de citation exacte des modalités. J'ai simplement trouvé plus important de corriger une erreur mathématique qu'une erreur de citation, n'ayant pas le temps de faire les deux ... Chassaing 28 décembre 2013 à 18:39 (CET)

donc finalement «  avec de moins en moins de chance de la voir se produire  » n'est pas dans Boll. Par contre, le nombre de couples jouant encore au bout de 3000 ans suit une loi de Poisson de paramètre 4,205, et est supérieur ou égal à 10 avec proba 0,5%, mais est supérieur ou égal à 4 avec proba 60,5%, ou bien est supérieur ou égal à 3 avec proba 80%. Donc Boll est inexact, il me semble. Chassaing 28 décembre 2013 à 20:14 (CET)

Amusant cette histoire... Merci pour le lien vers Genlib. Cela m'a permis de lire le texte, de voir qu'il n'est pas question en fait de loi des grands nombres mais de reflexion sur la croyance à la compensation. Cela m'a permis aussi de voir que Boll ne fait que citer Borel. Du coup j'ai trouvé le texte de Borel [1] (une épreuve par seconde, 8h par jour, 10 millions d'épreuve par an, un centaine de couple encore en jeu au bout de 10 ans et une dizaine de parties en cours au bout de 1000 ans (ce qui est strictement équivalent aux valeurs fournies par Boll pour une épreuve toutes les 3 secondes). On a l'impression que Borel a travaillé à vue de nez (« on doit prévoir que... ») et qu'il est dans un ordre de grandeur comparable au tien (une dizaine vs 3 ou 4). Je suis en revanche complètement incapable de valider ta démarche je subodore seulement qu'il doit s'agir d'un problème de temps d'arrêt. Concernant le paragraphe sur Boll, dans notre article:

« Dans son ouvrage Les Certitudes du hasard (1943) Marcel Boll imagine un million de Parisiens commençant à jouer à pile ou face en 1789 à raison d'un coup par seconde, en convenant de ne s'arrêter qu'à égalité. Deux secondes après le début, la moitié des joueurs ont terminé; le calcul montre cependant qu'en 1942, date de sortie de l'ouvrage, une demi-douzaine de joueurs seront encore en train d'attendre cette égalité, avec de moins en moins de chances de la voir se produire »

tout est faux : Boll n'imagine rien il cite Borel. Personne ne joue à partir de 1789, rien en 1942. Je suis donc d'avis de tout supprimer. Si l'on veut, on peut parler du problème de la croyance erronée à la compensation, citer Borel (et non Boll) sans le trahir quitte à mettre une note de bas de page indiquant qu'un calcul semble prouver qu'il reste en réalité seulement 3 ou 4 parties en cours au bout de 1000 ans. Ton avis ? On supprime ou on réécrit ? HB (discuter) 29 décembre 2013 à 10:15 (CET)

effectivement on avait affaire à une citation de Boll qui brodait un peu (TI ?) de manière anecdotique. Citer Borel est plus crédible à mon goût. A propos, merci pour le lien !! Je suis assez convaincu par mes calculs mais l'application numérique est très légèrement différente pour Borel, il vaut mieux les laisser de côté à mon avis. Chassaing 29 décembre 2013 à 10:54 (CET)

Section supprimée donc. HB (discuter) 29 décembre 2013 à 18:15 (CET)

Loi faible de grands nombre et théorème de Khintchine

Une IP est venue modifier les critères pour la convergence en probabilité de la moyenne des variables aléatoires mais son intervention a été annulée. Pourtant elle me semblait pertinente et porteuse d'information. En effet, dans ma culture (un peu datée...) sur la loi faible des grands nombres, on prend en général, comme dans cet article des variables possédant même variance finie et on utilise dans la démonstration l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, ce qui en fait un résultat simple à démontrer. Mais il semble bien que le résultat s'étend à des variables n'ayant pas une variance finie. La démonstration semble alors plus complexe et fait intervenir les propriétés des fonctions caractéristiques des variables aléatoires. Une source à l'appui [2]. Chassain, tu as annulé cette modification en arguant du fait que la seconde version du théorème n'était qu'une conséquence de la loi forte des grands nombres. Cela signifie donc qu'il y aurait plus à dire sur les connections logiques de la loi faible et de la loi forte. Pourquoi une loi faible si la loi forte permet un résultat plus fort avec des conditions plus faibles ? Dans l'article Loi forte des grands nombres, tu dis que c'est Bernoulli qui établit la loi faible, qu'a fait alors Khintchine pour que le théorème porte son nom ? Il faudrait pouvoir répondre dans l'article à ces questions pour éviter qu'une autre IP modifie à nouveau l'article sur les conditions du théorème de la loi faible des grands nombres non ? HB (d) 25 octobre 2010 à 08:55 (CEST)

Je suis allé au plus simple, peut être à tort  :

• le théorème que l'IP attribue à Khintchine (c'est peut-être vrai, mais pas sourcé), est strictement plus faible que la loi forte des grands nombres (mêmes hypotheses, mais la conclusion (convergence en proba) est une conséquence de la convergence presque sûre obtenue par la loi des grands nombres) ; donc il fait double emploi. Son intérêt est au plus historique (c'est déjà ça mais voir point 2).
• l'énoncé supprimé par l'IP a aussi une conclusion (la même que dans Khintchine) plus faible que la loi des grands nombres, mais ses hypothèses sont ne sont pas inclues dans celle de la loi forte au sens où elles n'exigent pas la même loi pour les v. a., juste la même espérance et la même variance. Avec le théorème que j'ai rétabli, on balaye donc plus large.

C'est ma motivation essentielle. D'un point de vue plus mineur, quitte à changer de théorème, il aurait fallu changer aussi la démonstration : il est assez inesthétique de faire suivre un théorème de la démonstration d'un autre théorème. Je m'avance un peu mais la démonstration du th de Khintchine est probablement bien moins économique que celle via Bienaymé Tchebychev, et sans intérêt majeur puisque la grande démonstration de Kolmogorov figure dans la page "Loi forte", et que cette dernière démonstration a une importance majeure pour l'évolution de la théorie, et démontre accessoirement le th de Khintchine.

Il ne fallait donc pas supprimer l'ancien théorème (perte sèche), mais il serait informatif (quoique accessoire) d'un point de vue historique, de mentionner le th. de Khintchine avec source et date, plus loin dans l'article, ou bien si l'on adopte le parti pris chronologique, apres la loi faible mais avant la loi forte (je crois me rappeler qu'il est effectivement antérieur à la loi forte de Kolmogorov, mais pas à celle de Borel 1909, qui concerne les Bernoulli ou les v.a. bornées, mais je ne sais plus). Il ne fallait donc peut-être pas supprimer Khintchine, juste le déplacer après avoir rétabli le précédent, mais j'ai paré au plus pressé. Dans la même modif par l'IP, il y avait aussi une nette amélioration de la rédaction de l'intro, que j'ai laissée. Désolé, mais j'étais, et suis encore, pressé ...Chassaing 26 octobre 2010 à 02:31 (CEST)

Merci pour la source, intéressante, quoique ne changeant pas vraiment mon point de vue... Chassaing 26 octobre 2010 à 02:36 (CEST)

Merci pour ta réponse. Visiblement, je commence à me rouiller car je n'avais pas percuté que les conditions initiales étaient plus restrictives dans la loi forte (et dire que je reproche ce travers à mes élèves ...). Un petite note historique sur Bernoulli, Khintchine et Kolmogorov serait un plus pour l'article mais ça devra attendre (pb de compétence pour moi, pb de temps pour toi). @+. HB (d) 26 octobre 2010 à 08:40 (CEST)

Source et date 4 - 11 février 1929 académies des Sciences http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31417.image.f477 Maintenant pour les nuances et les démonstrations je te laisse lire (je suis trop à la frontière de mes connaissances). HB (d) 26 octobre 2010 à 10:44 (CEST)

impressionant cet accès aux vieux articles. Faudra que j'apprenne le jour où je me mettrai à bosser vraiment sur Wikipedia. Merci ! Chassaing 26 octobre 2010 à 11:58 (CEST)

Dernière partie : Exemple d'application, petite erreur

Ce n'est pas "9" fois plus grand qu'il faudrait être, mais 10x. Pour passer de 3% à 1%, il faut effectivement 9x, sauf que ce n'était pas "3%", c'était "à peu prêt 3%". Au final, il est inutile d'en revenir à ce nombre de 3%, puisque l'énoncé est simplement "à partir de 1000, combien faut-il de plus pour atteindre une précision de 1%", en l’occurrence, c'est 10. Je me permets de faire la correction directement. Si quelqu'un conteste (je ne suis pas spécialiste), il pourra toujours faire le rollback. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Wiiip (discuter), le 9 janvier 2018 à 22:48 (CET)

Mandelbrot devrait-il être mentionné ?

Par hasard, en lisant la biographie de Isaac Asimov, je lis :

"[...] la loi des grands nombres telle qu'on la concevait alors, avant que Benoît Mandelbrot ne mette en évidence les formes fractales [...]".

Puis, en allant sur l'article consacré à Mandelbrot, je lis :

"Il arrive à la conclusion qu’il n’y a pas une forme de hasard, qui conduirait toujours à une égalisation par la loi des grands nombres.".

Puis, ne comprenant toujours pas pourquoi Mandelbrot s'opposait à la loi des grands nombres, je viens lire cet article. Je suis étonné de ne pas y voir le nom de Mandelbrot. C'est peut-être normal. Je ne sais pas, et donc je pose la question en discussion. 2A01:E0A:CF5:50E0:600A:A450:66C5:DEA (discuter) 7 janvier 2024 à 00:23 (CET)